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Simutransのことなど

完全反対称テンソルとクロネッカーのデルタの関係

完全反対称テンソル\varepsilon_{ijk}についての公式
\begin{align*} \sum_{i=1}^3\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{kl}\delta_{jm} \end{align*}
を示す。左辺の和をばらして、次のように書き下す。
\begin{align*} \displaystyle\sum_{i=1}^3\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}&=\varepsilon_{1jk}\varepsilon_{1lm}+\varepsilon_{2jk}\varepsilon_{2lm} +\varepsilon_{3jk}\varepsilon_{3lm} \end{align*}
例えば、j=2,k=3とした場合、第1項のみが残り、残りの2項は消えてしまう。他の場合も同様である。したがって、j,kやl,mが2,3になる場合に成り立つことを示せば十分である。
\begin{align*} \varepsilon_{123}\varepsilon_{123}&=1\\ \varepsilon_{123}\varepsilon_{132}&=-1\\ \varepsilon_{132}\varepsilon_{123}&=-1\\ \varepsilon_{132}\varepsilon_{132}&=1 \end{align*}
であるから、
\begin{align*} \varepsilon_{1jk}\varepsilon_{1lm}&=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{kl}\delta_{jm}&(j,k,l,m=2\ \mathrm{or}\ 3) \end{align*}
が成り立つ。i=2,3の場合も同様にすればよい。したがって、
\begin{align*} \sum_{i=1}^3\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{kl}\delta_{jm} \end{align*}
が示された。